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PROGRAMMA DI MATEMATICA PER LA CLASSE 5^A LICEO SCIENTIFICO
LE DERIVATE
Premessa
Definizione di derivata e suo significato geometrico
Significato geometrico del rapporto incrementale
Continuità delle funzioni derivabili
Derivate di alcune funzioni elementari
Derivata di una costante
Derivata della funzione identica
Derivata della funzione seno
Derivata della funzione coseno
Derivata della funzione logaritmica
Derivata della funzione esponenziale
Regole di derivazione
Derivata della somma
Derivata del prodotto
Derivata della funzione reciproca
Derivata del quoziente
Derivata della funzione composta
Funzione pari e dispari
Derivata della funzione inversa
Funzione derivata prima e funzioni derivate successive
Differenziale di una funzione
Quadro riassuntivo delle derivate fondamentali e delle regole di derivazione
Significato geometrico del differenziale
Significati fisici della derivata
Velocità e accelerazione in un moto rettilineo
Interpretazione cinematica di una funzione
Forza elettromotrice indotta
CALCOLO DIFFERENZIALE
Teoremi fondamentali
Massimi e minimi
Teoremi fondamentali sui punti di minimo e di massimo
Teorema di Rolle e sua interpretazione geometrica
Teorema di Lagrange e sua interpretazione geometrica
Teorema di Cauchy e sua interpretazione geometrica
Funzioni crescenti e decrescenti
Teorema fondamentali sulle funzioni crescenti e decrescenti
Forme indeterminate
Teorema di De L’Hospital
Studio e rappresentazione grafica
Punti a tangenza orizzontale
Uso delle derivate successive
Osservazioni sui massimi e minimi locali
Concavità, convessità e flessi
Una proprietà delle funzioni convesse
Studio del grafico di una funzione
Polinomi
Funzioni razionali
Funzioni algebriche irrazionali
Funzioni goniometriche
Funzioni esponenziali
Funzioni logaritmiche
Funzioni oscillanti
Dal grafici di f al grafico di f’
Ricerca del massimo e del minimo assoluti
Massimi e minimi assoluti
Funzione continua in un intervallo limitato e chiuso
Funzione continua in un intervallo limitato e aperto e dotata di limiti (finiti o infiniti) agli estremi di tale intervallo
Funzione continua in un intervallo illimitato e dotata di limite (finiti o infinito)per x che tende all’infinito
Problemi di massimo e minimo assoluti
Interpretazione geometrica di teoremi fondamentali
Formula di Taylor
Il polinomio di Taylor
Massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale
Interpretazione geometrica dell’approssimazione delle funzioni mediante il polinomio di Taylor
Serie di Taylor
Sviluppo di serie di alcune funzioni elementari. Le funzioni seno e coseno
CALCOLO INTEGRALE
Premessa
Funzioni primitive di una funzione data
Significato geometrico dell’integrale indefinito
Proprietà dell’integrale indefinito
Integrali indefiniti immediati
Integrazione mediante scomposizione o semplice trasformazione della funzione integranda
Integrazione delle funzioni razionali
Integrazione per sostituzione
Integrazione per parti
Integrazione mediante le trasformazioni di Eulero
L’INTEGRALE DEFINITO
Premessa
Area del trapezoide
Integrale definito
Approssimazione di un integrale definito
Proprietà dell’integrale definito
Teorema della media
Significato geometrico del teorema della media
Funzione integrale. Teorema di Torricelli-Barrow
Calcolo di aree di domini piani
Area di un segmento parabolico
Area della regione delimitata dall’ellisse
Volumi dei solidi di rotazione
Il teorema di Guldino
Significato fisico dell’integrale definito
Moto rettilineo
Quantità di carica
Lavoro di una forza
Integrali impropri
ZERI DI UNA FUNZIONE
Calcolo approssimato delle radici di un'equazione
Metodo di bisezione
Metodo delle secanti
Metodo delle tangenti (Newton)
Metodo delle approssimazioni successive
CALCOLO NUMERICO DI INTEGRALI
Metodo dei rettangoli
Metodo dei trapezi
Metodo di Cavalieri-Simpson
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Introduzione
Nozioni generali
Una questione di esistenza
Problemi fondamentali
Teoremi di esistenza e unicità
Equazioni del primo ordine
L’equazione lineare y’ = ay+b
Applicazioni
Equazioni autonome
Soluzioni d’equilibrio
Determinazione di famiglie di soluzioni
Dell’equazione y’ = g(x)
Requisiti qualitativi
Grafico della stabilità
Equazione logistica
L’equazione y’ = a(x)y+b(x)
Interpretazione geometrica
Equazione di Bernoulli
Equazioni a variabili separabili
Equazioni differenziali esatte
Analisi qualitativa
Isocline
Campi ortogonali
Equazioni differenziali lineari
Alcuni risultati importanti
Equazioni del secondo ordine
Equazioni del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine complete
Metodo della variazione delle costanti
Metodo del nucleo risolvente
Equazioni di Eulero
Primo caso
Secondo caso
Terzo caso
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti
Oscillazioni forzate
Risonanza
Carrello sottoposto ad una forza costante
Circuiti elettrici
Integrazione di un’equazione mediante serie di potenze
Sistemi
Sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti
Legami tra le soluzioni del sistema e quelle di un equazione
del secondo ordine associata
Problema di Cauchy
Stabilità
Primo caso
Secondo caso
Terzo caso
Il sistema preda predatore
Equilibrio
Crescenza e decrescenza
Traiettorie
Legge del ciclo periodico
Legge della conservazione delle medie
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
Premessa
Funzioni di due variabili
Funzioni continue
Continuità
Funzioni limitate. Massimi e minimi
Derivate parziali
Significato geometrico
Differenziale totale. Calcolo approssimato
Derivabilità delle funzioni composte
Teorema del valor medio in due dimensioni
Applicazione
La formula di Taylor in due dimensioni
Applicazione
Massimi e minimi per funzioni in due variabili
Massimi e minimi condizionati
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Piano tangente
Vettori tangenti. Vettori normali
Linee di livello
Metodo di Newton per la risoluzione di sistemi
Programmazione lineare
Un problema di trasporti
Un problema di nutrizione
Un problema programmazione di produzione
Utilizzazione dei modelli geometrici per la programmazione
Massimo e minimo di una funzione in un poligono
Esempi di programmazione lineare
CALCOLO COMBONATORIO
Introduzione
Disposizioni semplici. Permutazioni
Combinazioni semplici
Coefficienti binomiali
Combinazioni ottenute per induzione
Triangolo di Tartaglia. Potenza di un binomio
Disposizioni e combinazioni con ripetizioni
Disposizioni con ripetizione
Combinazioni con ripetizioni
CALCOLO DELLE PROBABILITA’
La probabilità, la misura delle aree e il tiro a segno
La probabilità, il gioco testa o croce, il calcolo combinatorio
La probabilità, le estrazioni da un’urna
Definizione di probabilità
La legge empirica del caso
Il gioco del lotto
Probabilità totali
Probabilità composte. Eventi indipendenti
Probabilità condizionale
La formula di Bayes
Variabili aleatorie
Variabili aleatorie di Bernoulli
Variabili aleatorie di Poisson
Valore medio e scarto quadratico medio
La legge dei grandi numeri
Il teorema di Bienaymé-Tchebycheff